题目内容
已知椭圆
经过点
，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线
与椭圆
交于
，
两点，若线段
的垂直平分线经过点
，求
（
为原点）面积的最大值.
（1）
(2) 面积的最大值为
.
解析试题分析：（1）由已知得
，再根据椭圆经过点，代入椭圆方程即可.
(2)设
当直线的斜率为
时,可得
，由
，得到
；
当直线的斜率不为时，将的方程为
与椭圆方程联立，
整理得
，
由
, 得到
应用韦达定理
，
，化简得到
代入，得到
；
通过确定原点到直线的距离为
，
得到
求其最值.
试题解析：（1）∵椭圆
的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，∴， ∴
， 2分
又∵椭圆经过点，代入可得
，
∴故所求椭圆方程为 4分
(2)设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜率，
当直线的斜率为时,则的垂直平分线为
轴，此时
所以，因为，所以
所以
，当且仅当
时，
取得最大值为， 7分
当直线的斜率不为时，则设的方程为
所以
，代入得到 8分
当, 即
方程有两个不同的解又， 10分
所以
，又
，化简得到
代入，得到
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轴对称，它的顶点在坐标原点，点
、
、
均在抛物线上.
与
的斜率存在且倾斜角互补时，求
的值及直线
的斜率.
＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝
，b<t1<a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A、B、C、D四点．
与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：
为定值．
＝λ
，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA＝2S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的矩形的两个顶点．
＝m
＋n
，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；
，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．
上任意一点
作直线
的垂线，垂足为
,且
.
、
是曲线
和
的倾斜角分别为
和
，当
变化且
为定值
时，证明直线
恒过定点，并求出该定点的坐标.
，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于A、B两点．
，求椭圆的方程；
·
<7时，求椭圆离心率的取值范围．
的离心率是
，它被直线
截得的弦长是
，求椭圆的方程．