题目内容
已知过曲线上任意一点
作直线
的垂线,垂足为
,且
.
⑴求曲线的方程;
⑵设、
是曲线
上两个不同点,直线
和
的倾斜角分别为
和
,当
变化且
为定值
时,证明直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
⑴
⑵当时,直线
恒过定点
,当
时直线
恒过定点
.
解析试题分析:⑴要求曲线方程,但是不知道是哪种曲线,所以只能设点.根据,转化为
求曲线方程即可;
⑵要证明直线恒过定点,必须得有直线方程,所以首先设出直线方程.又因为两个角是直线和
的倾斜角,所以点
也得设出来.利用韦达定理,然后讨论
的范围变化,证明并得出定点坐标.
试题解析:⑴设,则
,由
得
,;
即;所以轨迹方程为
;
⑵设,由题意得
(否则
)且
,
所以直线的斜率存在,设其方程为
,
因为在抛物线上,所以
,
将与
联立消去
,得
;
由韦达定理知①;
(1)当时,即
时,
,所以
,
,所以
.由①知:
,所以
因此直线的方程可表示为
,即
.
所以直线恒过定点
(2)当时,由
,得
=
=
将①式代入上式整理化简可得:,所以
,
此时,直线的方程可表示为
,
即,所以直线
恒过定点
;
所以由(1)(2)知,当时,直线
恒过定点
,
当时直线
恒过定点
. 12分
考点:相关点法求曲线方程;分类讨论.
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