Question

4．已知命题p：函数y=2sinax在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上是增函数，命题q：方程3^-|x-1|-a+1=0有实数解，若命题“p且q”为真命题时实数a的取值集合为A，求函数f（x）=x²+x+1（x∈A）的值域．

Answer 1

分析 分别求出关于命题p，q的a的范围，从而求出集合A，进而求出函数f（x）的值域．

解答 解：关于P：函数y=2sinax在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上是增函数，可得$\frac{T}{2}$≥$\frac{2π}{3}$且a＞0，即$\frac{2π}{2a}$≥$\frac{2π}{3}$，解得0＜a≤$\frac{3}{2}$，
关于q：方程3^-|x-1|-a+1=0有实数解，解得：1＜a≤2，
若命题“p且q”为真命题时实数a的取值集合为A，
则A=（1，$\frac{3}{2}$]，
∴函数f（x）=x²+x+1的定义域是（1，$\frac{3}{2}$]，
而f（x）=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，对称轴x=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（1，$\frac{3}{2}$]递增，
∴f（x）_min＞f（1）=3，f（x）_max=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{19}{4}$，
∴函数的值域是（3，$\frac{19}{4}$]．

点评 本题考查了三角函数、指数函数、二次函数的性质，考查转化思想，求出集合A是解答本题的关键，本题是一道中档题．