题目内容

10．如图，已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为（　　）
A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．2D．3

分析 由圆锥曲线的定义及图中的相等关系推出a，从而求出离心率．

解答 解：如图记AF1、AF2与△APF1的内切圆相切于N、M；
则AN=AM，PM=PQ，NF1=QF1，AF1=AF2；
则NF1=AF1-AN=AF2-AM=MF2；
则QF1=MF2；
则PF1-PF2=（QF1+PQ）-（MF2-PM）
=QF1+PQ-MF2+PM
=PQ+PM=2PQ=4，
即2a=4，则a=2．
由F1F2=8=2c，得c=4，
则e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：C．

点评 本题考查了学生的作图能力及识图能力，要从图中找到等量关系从而求出a，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
20．设集合M={x|-2＜x＜3}，N={x|2x+1≤1}，则M∩（∁RN）=（　　）
A．（3，+∞）B．（-2，-1]C．（-1，3）D．[-1，3）
1．已知{an}，{bn}，{cn}都是各项不为零的数列，且满足a1b1+a2b2+…+anbn=cnSn，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，{cn}是公差为d（d≠0）的等差数列．
（1）若数列{an}是常数列，d=2，c2=3，求数列{bn}的通项公式；
（2）若an=λn（λ是不为零的常数），求证：数列{bn}是等差数列；
（3）若a1=c1=d=k（k为常数，k∈N*），bn=cn+k（n≥2，n∈N*），求证：对任意的n≥2，n∈N*，数列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$单调递减．
18．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解关于x的不等式 f（x）＞2
（2）若不等式$f（x）≥ax+\frac{a}{2}-\frac{7}{2}$恒成立，求实数a的取值范围．
5．已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x}$是定义在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为2．
15．已知数列{an}满足a1=1，点（an，an+1）在直线y=2x+1上．数列{bn}满足b1=a1，${b_n}={a_n}（\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}）$（n≥2且n∈N*）．
（Ⅰ）（i）求{an}的通项公式；（ii）证明：$\frac{{1+{b_n}}}{{{b_{n+1}}}}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$（n≥2且n∈N*）；
（Ⅱ）求证：$（{1+\frac{1}{b_1}}）（{1+\frac{1}{b_2}}）…（{1+\frac{1}{b_n}}）＜\frac{10}{3}$．
2．已知函数f（x）=x2-ax-a．
（Ⅰ）若存在实数x，使f（x）＜0，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=|f（x）|，若任意实数a，存在x0∈[0，1]使不等式g（x0）≥k成立，求实数k的取值范围．
19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x-3）2+y2=9相交于A、B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为（　　）
A．8B．2$\sqrt{2}$C．$\frac{3}{2}$D．3
20．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，给出下列命题：
①若α∥β，则m⊥l；  ②若α⊥β，则m∥l；  ③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．  
其中正确的命题的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4

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