题目内容

(本小题满分12分)某工厂用万元钱购买了一台新机器,运输安装费用千元,每年投保、动力消耗的费用也为千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为千元,第二年为千元,第三年为千元,依此类推,即每年增加千元.
(Ⅰ)求使用年后,保养、维修、更换易损零件的累计费用S(千元)关于的表达式;
(Ⅱ)问这台机器最佳使用年限是多少年?并求出年平均费用(单位:千元)的最小值.(最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间,年平均费用=(购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用)÷机器使用的年数 )
(Ⅰ)(Ⅱ)最佳年限是12年,平均费用为15.5千元

试题分析:(Ⅰ)由题易知其费用成等差数列,                                   ……2分
所以                                         ……5分
(Ⅱ)设使用年的年平均费用为,则  
                                           ……10分
当且仅当时,取等号,取最小值 ,                                   ……11分
故最佳年限是12年,平均费用为15.5千元.                                  ……12分
点评:根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式就可求得函数的最值,但是一定要注意在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
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