Question

【题目】如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB和曲线DE分别是顶点在路面A、E的抛物线的一部分，曲线BCD是圆弧，已知它们在接点B、D处的切线相同，若桥的最高点C到水平面的距离H=6米，圆弧的弓高h=1米，圆弧所对的弦长BD=10米．
（1）求弧 所在圆的半径；
（2）求桥底AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：设弧 所在圆的半径为r（r＞0），由题意得r2=52+（r﹣1）2，则r=13，

即弧 所在圆的半径为13米

（2）解：以线段AE所在直线为x轴，线段AE的中垂线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．∵H=6米，BD=10米，弓高h=1米，

∴B（﹣5，5），D（5，5），C（0，6），设 所在圆的方程为x2+（y﹣b）2=r2，（r＞0），

则 ， ，

∴弧 的方程为x2+（y+7）2=169（5≤y≤6）

设曲线AB所在抛物线的方程为：y=a（x﹣m）2

由点B（﹣5，5），在曲线AB上

∴5=a（5+m）2，

又弧 与曲线段AB在接点B处的切线相同，且弧 在点B处的切线的斜率为 ，

由y=a（x﹣m）2，y′=2a（x﹣m），2a（﹣5﹣m）= ，

2a（5+m）=﹣ ，

由得m=﹣29，A（﹣29，0），E（29，0）

∴桥底AE的长为58米

【解析】（1）由r2=52+（r﹣1）2 ， 即可求得r，即可求得弧 所在圆的半径；（2）建立直角坐标系，由题意设 所在圆的方程，列方程组，即可求得圆的方程，曲线AB所在抛物线的方程为：y=a（x﹣m）2 ， 求导，根据导数的几何意义，即可求得m的值，求得A和E点坐标，即可求得桥底AE的长为58米．