Question

2．已知数列{a_n}满足a_n=n•（$\frac{9}{10}$）^n-1，n∈N^*，如何求数列{a_n}中的最大项，最小项是多少？

Answer 1

分析 由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）•（\frac{9}{10}）^{n}}{n•（\frac{9}{10}）^{n-1}}$=$\frac{9n+9}{10n}$=$\frac{9}{10}+\frac{9}{10n}$，可知：$\frac{9}{10}+\frac{9}{10n}$（n∈N^*）是关于n的单调递减数列，对n分类讨论即可得出．

解答 解：由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）•（\frac{9}{10}）^{n}}{n•（\frac{9}{10}）^{n-1}}$=$\frac{9n+9}{10n}$=$\frac{9}{10}+\frac{9}{10n}$，
可知：$\frac{9}{10}+\frac{9}{10n}$（n∈N^*）是关于n的单调递减数列，
并且当n＜9时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＞1，即a_n＜a_n+1；
当n=9时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1，即a₉=a₁₀；
当n＞9时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜1，即a_n＞a_n+1．
综上可得：a₁＜a₂＜…＜a₉=a₁₀＞a₁₁＞…．
∴数列{a_n}中的最大项是a₉，a₁₀，
最小项与n有关系．

点评 本题考查了数列的单调性、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．