Question

17．求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$]的值域．

Answer 1

分析 令sinx+cosx=t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由 x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$]，可得t的范围，根据函数y=$\frac{{（t+1）}^{2}}{2}$，再利用二次函数的性质求得它的值域．

解答 解：函数y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1，
令sinx+cosx=t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由 x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$]，可得x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]．
∴函数y=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t+1=$\frac{{（t+1）}^{2}}{2}$，∴当t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数y取得最小值为$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当t=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，函数y取得最大值为 $\frac{5}{4}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查三角代换、二次函数的性质，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．