题目内容
【题目】已知抛物线:
上的点到焦点的距离最小值为1.
(1)求的值;
(2)若点在曲线
:
上,且在曲线
上存在三点
,
,
,使得四边形
为平行四边形.求平行四边形
的面积
的最小值.
【答案】(1)(2)最小值为
.
【解析】
(1)由抛物线定义,结合抛物线的几何性质可知到准线
的距离为最小值,即可求得
的值;
(2)方法一:设出直线的方程,并讨论斜率是否存在.联立直线与抛物线方程,结合韦达定理表示出
中点
的坐标.将点
代入曲线
可得
.根据平行四边形性质可知
,
关于点
对称,即可表示出B点坐标,可得方程
.利用三角形面积公式表示出平行四边形
的面积
,根据等量关系即可求得面积的最小值.
方法二: 设,
,表示出直线
的方程,由点
在曲线
上,可得
.由
,
关于点
对称,可得B点坐标,将B的坐标代入抛物线方程,可得
的等量关系.根据三角形面积公式表示出平行四边形
的面积
,进而由不等式关系即可求得最小值.
(1)根据抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离
抛物线上的点到焦点的距离最小值为1
即到准线
的距离为1
即,所以
(2)方法一:设直线:
,
当不存在时,此时直线
为竖直线,与抛物线只有一个交点,故舍去.
设,
联立方程,得
,
.
故线段中点
而点在曲线
:
上
故
若要满足四边形为平行四边形,则
,
关于点
对称.则
.又点
在抛物线
上,
故满足方程,即
①
,
代入①得:,
所以
所以平行四边形的面积
的最小值为
.
方法二:设,
,
直线:
,点
在曲线
:
上,
故.线段
中点
,若要满足四边形
为平行四边形,
则,
关于点
对称,则
.又点
在抛物线
上
故满足方程,即
①
.
所以平行四边形的面积
的最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中,获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据,如下表:
| 26 | 27 | 39 | 41 | 49 | 53 | 56 | 58 | 60 | 61 |
| 14.5 | 17.8 | 21.2 | 25.9 | 26.3 | 29.6 | 31.4 | 33.5 | 35.2 | 34.6 |
根据上表的数据得到如下的散点图.
(1)根据上表中的样本数据及其散点图:
(i)求;
(i)计算样本相关系数(精确到0.01),并刻画它们的相关程度.
(2)若关于
的线性回归方程为
,求
的值(精确到0.01),并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.
附:参考数据:,
,
,
,
,
,
参考公式:相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
,
.
【题目】某农户计划种植莴笋和西红柿,种植面积不超过亩,投入资金不超过
万元,假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表:
年产量/亩 | 年种植成本/亩 | 每吨售价 | |
莴笋 | 5吨 | 1万元 | 0.5万元 |
西红柿 | 4.5吨 | 0.5万元 | 0.4万元 |
那么,该农户一年种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)的最大值为____万元