Question

2．若存在x∈[-2，-1]，使得不等式（m²-m）4^x-2^x-1≤0成立，则实数m∈[-4，5]．

Answer 1

分析 存在x∈[-2，-1]，使得不等式（m²-m）4^x-2^x-1≤0成立，反面即为恒成立问题，反面为对任意的x∈[-2，-1]，不等式（m²-m）4^x-2^x-1＞0恒成立，
求出反面，再求出补集即可．

解答 [-4，5]．
解：存在x∈[-2，-1]，使得不等式（m²-m）4^x-2^x-1≤0成立，
∴反面为对任意的x∈[-2，-1]，不等式（m²-m）4^x-2^x-1＞0恒成立，
∴（m²-m）＞$\frac{{2}^{x}+1}{{4}^{x}}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$$+\frac{1}{{4}^{x}}$，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，t∈[2，4]，
∵$\frac{1}{{2}^{x}}$$+\frac{1}{{4}^{x}}$=t²+t≤20，
∴m²-m-20＞0，
∴m＞5或m＜-4，
故m的范围为[-4，5]．

点评 考查了间接法求问题的划归思想，转化为常见的恒成立问题进行求解．