Question

【题目】已知圆及点．

（Ⅰ）若线段的垂直平分线交圆于两点，试判断四边形的形状，并给与证明；

（Ⅱ）过点的直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）菱形，证明见解析；（Ⅱ）或．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先根据条件求出、的中点的坐标，然后结合可得四边形为菱形；（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，可直接求出的面积；当直线的斜率存在时，首先设直线的方程，然后利用点到直线的距离公式与弦长公式求得的面积的表面式，再利用基本不等式可求得面积的最大值，从而求得直线的斜率，进而得到直线的方程．

试题解析：（Ⅰ）四边形为菱形

证明如下：

的中点为，设，,

设的垂直平分线为，代入圆得

，∴的中点为，则四边形为平行四边形，

又，∴四边形为菱形．

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，的方程为，则的坐标为，，

所以．

当直线的斜率存在时，设的方程为,

则圆心到直线的距离为

由平面几何知识得

∴

当且仅当，即时，取得最大值．

，所以的最大值为，

此时，由，解得或，

此时直线的方程为或．