Question

10．研究函数f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$的定义域，奇偶性，单调性，最大值．画出它的图象．

Answer 1

分析 根据题意，求函数的定义域、奇偶性、单调性与最大值，并画出该函数的图象．

解答 解：∵1+x²≠0恒成立，
∴函数f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$的定义域为R；
又对?x∈R，有f（-x）=$\frac{1}{1{+（-x）}^{2}}$=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$=f（x），
∴函数f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$是定义域R上的偶函数；
又f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$在（-∞，0]上单调增函数，在（0，+∞）上是单调减函数；
∵1+x²≥1，
∴函数f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$的最大值为1；
画出该函数的图象如图所示．

点评 本题考查了函数的定义域，奇偶性、单调性、最值的求法与判断问题，是基础题目．