题目内容
11．已知椭圆$\frac{y^2}{a^2}$+$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点P（${\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$\frac{1}{2}}$），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，动点 M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以 O M（ O为坐标原点）为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作 O M的垂线与以 O M为直径的圆交于点 N，证明线段 O N的长为定值，并求出这个定值．
分析 （1）把点$P（\;\frac{{\sqrt{6}}}{2}\;，\;\frac{1}{2}\;）$代入椭圆方程可得$\frac{{{{（\;\frac{{\sqrt{6}}}{2}\;）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（\;\frac{1}{2}\;）}^2}}}{b^2}=1$，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a2=b2+c2，联立解出即可得出；
（2）以OM为直径的圆的圆心为$（\;1\;，\;\frac{t}{2}\;）$，半径$r=\sqrt{\frac{t^2}{4}+1}$，可得圆的标准方程；由于以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线3x-4y-5=0的距离d，利用弦长公式可得弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．
（3）方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K．直线OM的方程为$y=\frac{t}{2}x$，直线FN的方程为$y=-\frac{2}{t}（x-1）$，联立解得K坐标，可得|OK|，|OM|，利用|ON|2=|OK|•|OM|即可证明．
方法二：设N（x0，y0），则$\overrightarrow{FN}=（\;{x_0}-1\;，\;{y_0}\;）$，$\overrightarrow{OM}=（\;2\;，\;t\;）$，$\overrightarrow{MN}=（\;{x_0}-2\;，\;{y_0}-t\;）$，$\overrightarrow{ON}=（\;{x_0}\;，\;{y_0}\;）$．利用$\overrightarrow{FN}⊥\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{ON}$，可证$|ON|=\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$为定值．
解答 （1）解：由题意得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，①
∵椭圆经过点$P（\;\frac{{\sqrt{6}}}{2}\;，\;\frac{1}{2}\;）$，∴$\frac{{{{（\;\frac{{\sqrt{6}}}{2}\;）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（\;\frac{1}{2}\;）}^2}}}{b^2}=1$②
又a2=b2+c2③
由①②③解得a2=2，b2=c2=1．
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）解：以OM为直径的圆的圆心为$（\;1\;，\;\frac{t}{2}\;）$，半径$r=\sqrt{\frac{t^2}{4}+1}$，
故圆的方程为${（x-1）^2}+{（y-\frac{t}{2}）^2}=\frac{t^2}{4}+1$．
∵以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，
∴圆心到直线3x-4y-5=0的距离$d=\sqrt{{r^2}-1}=\sqrt{\frac{t^2}{4}+1-1}=\frac{t}{2}$．
∴$\frac{|3-2t-5|}{5}=\frac{t}{2}$，即2|2t+2|=5t，
故4t+4=5t，或4t+4=-5t，
解得t=4，或$t=-\frac{4}{9}$．
又t＞0，故t=4．
所求圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=5．
（3）证明：方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K．
直线OM的方程为$y=\frac{t}{2}x$，直线FN的方程为$y=-\frac{2}{t}（x-1）$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{t}{2}x\\ y=-\frac{2}{t}（x-1）\end{array}\right.$，解得$x=\frac{4}{{{t^2}+4}}$，故$K（\;\frac{4}{{{t^2}+4}}\;，\;\frac{2t}{{{t^2}+4}}\;）$．
∴$|OK|\;=\sqrt{\frac{16}{{{{（{t^2}+4）}^2}}}+\frac{{4{t^2}}}{{{{（{t^2}+4）}^2}}}}=\sqrt{\frac{4}{{{t^2}+4}}}$；
$|OM|\;=\sqrt{4+{t^2}}$．
又$|ON{|^2}\;=\;|OK|•|OM|\;=\sqrt{\frac{4}{{4+{t^2}}}}•\sqrt{4+{t^2}}=2$．
∴$|ON|\;=\sqrt{2}$．
∴线段ON的长为定值$\sqrt{2}$．
方法二：设N（x0，y0），则$\overrightarrow{FN}=（\;{x_0}-1\;，\;{y_0}\;）$，$\overrightarrow{OM}=（\;2\;，\;t\;）$，$\overrightarrow{MN}=（\;{x_0}-2\;，\;{y_0}-t\;）$，$\overrightarrow{ON}=（\;{x_0}\;，\;{y_0}\;）$．
∵$\overrightarrow{FN}⊥\overrightarrow{OM}$，∴2（x0-1）+ty0=0．∴2x0+ty0=2．
又∵$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{ON}$，∴x0（x0-2）+y0（y0-t）=0．
∴$x_0^2+y_0^2=2{x_0}+t{y_0}=2$．
∴$|\overrightarrow{ON}|\;=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\sqrt{2}$为定值．
点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆的相交问题、向量垂直与数量积之间的关系、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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| C． | $\overline{{X}_{甲}}$＞$\overline{{X}_{乙}}$，甲比乙成绩稳定 | D． | $\overline{{X}_{甲}}$＞$\overline{{X}_{乙}}$，乙比甲成绩稳定 |
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| A． | $\frac{2\sqrt{34}}{17}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | C． | $\frac{4\sqrt{7}}{7}$ | D． | $\frac{4}{5}$ |