题目内容

已知数列{an}满足∵(
9
10
)a1
+(
9
10
)2a2
+…+(
9
10
)
n
an
=
9
10
(n2+3n).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)分析数列{an}有没有最大项,若有,求出这个最大项;若没有,说明理由.
分析:(1)再写一式,两式相减,即可求数列{an}的通项公式;
(2)确定数列{an}为递增数列,即可得到数列没有最大项.
解答:解:(1)∵(
9
10
)a1
+(
9
10
)2a2
+…+(
9
10
)
n
an
=
9
10
(n2+3n)①
∴n≥2时,(
9
10
)a1
+(
9
10
)2a2
+…+(
9
10
)
n-1
an-1
=
9
10
[(n-1)2+3(n-1)]②
①-②可得(
9
10
)
n
an
=
9
10
(2n+2)
∴n≥2时,an=2(n+1)•(
9
10
)1-n

∵n=1时,(
9
10
)a1
=
9
10
×4,∴a1=4,满足上式
an=2(n+1)•(
9
10
)
1-n

(2)∵
an+1
an
=
2(n+2)•(
9
10
)
-n
2(n+1)•(
9
10
)
1-n
=
10
9
×(1+
1
n+1
)
>1,an>0
∴an+1>an
∴数列{an}为递增数列,因此数列没有最大项.
点评:本题考查数列递推式,考查数列的通项,考查数列的单调性,考查学生的计算能力,属于中档题.
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