题目内容
已知数列{an}满足∵(
)a1+(
)2a2+…+(
)nan=
(n2+3n).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)分析数列{an}有没有最大项,若有,求出这个最大项;若没有,说明理由.
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(1)求数列{an}的通项公式;
(2)分析数列{an}有没有最大项,若有,求出这个最大项;若没有,说明理由.
分析:(1)再写一式,两式相减,即可求数列{an}的通项公式;
(2)确定数列{an}为递增数列,即可得到数列没有最大项.
(2)确定数列{an}为递增数列,即可得到数列没有最大项.
解答:解:(1)∵(
)a1+(
)2a2+…+(
)nan=
(n2+3n)①
∴n≥2时,(
)a1+(
)2a2+…+(
)n-1an-1=
[(n-1)2+3(n-1)]②
①-②可得(
)nan=
(2n+2)
∴n≥2时,an=2(n+1)•(
)1-n
∵n=1时,(
)a1=
×4,∴a1=4,满足上式
∴an=2(n+1)•(
)1-n;
(2)∵
=
=
×(1+
)>1,an>0
∴an+1>an
∴数列{an}为递增数列,因此数列没有最大项.
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∴n≥2时,(
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①-②可得(
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∴n≥2时,an=2(n+1)•(
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∵n=1时,(
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∴an=2(n+1)•(
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(2)∵
an+1 |
an |
2(n+2)•(
| ||
2(n+1)•(
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1 |
n+1 |
∴an+1>an
∴数列{an}为递增数列,因此数列没有最大项.
点评:本题考查数列递推式,考查数列的通项,考查数列的单调性,考查学生的计算能力,属于中档题.

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