题目内容
【题目】已知,
.
(1)讨论的单调区间;
(2)当时,证明:
.
【答案】(1)在
上单调递减;在
和
上单调递增.(2)见解析
【解析】
(1)先求函数的定义域,再进行求导得,对
分成
,
,
三种情况讨论,求得单调区间;
(2)要证由,等价于证明
,再对
分
,
两种情况讨论;证明当
时,不等式成立,可先利用放缩法将参数
消去,转化成证明不等式
成立,再利用构造函数
,利用导数证明其最小值大于0即可。
(1)的定义域为
,
,
当时,由
,得
;
由,得
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增;
当时,由
,得
或
;
由,得
;
所以在
上单调递减,在
和
上单调递增;
当时,由
,得
在
上单调递增;
当时,由
,得
或
;由
,得
;
所以在
上单调递减;在
和
上单调递增.
(2)由,得
,
①当时,
,
,不等式显然成立;
②当时,
,由
,得
,
所以只需证:,
即证,令
,
则,
,
令,
则,
令,
则,
所以在
上为增函数,
因为,
,
所以存在,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
又因为,
,
当时,
,
在
上单调递减,
当时,
,
在
上单调递增,
所以,
所以,
所以原命题得证
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】黄冈“一票通”景区旅游年卡,是由黄冈市旅游局策划,黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程,持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况单位:百元
,相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查,并把得到的数据列成如表所示的频数分布表:
组别 | |||||
频数 | 10 | 390 | 400 | 188 | 12 |
求所得样本的中位数
精确到百元
;
根据样本数据,可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布
,若该市总人口为750万人,试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上;
若年旅游消费支出在
百元
以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人,一年内继续来该景点游玩记2分,不来该景点游玩记1分,将上述调查所得的频率视为概率,且游客之间的选择意愿相互独立,记总得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
参考数据:
,
;