题目内容
【题目】对于函数,若存在正常数
,使得对任意的
,都有
成立,我们称函数
为“
同比不减函数”.
(1)求证:对任意正常数,
都不是“
同比不减函数”;
(2)若函数是“
同比不减函数”,求
的取值范围;
(3)是否存在正常数,使得函数
为“
同比不减函数”,若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在,
【解析】
(1)取特殊值使得不成立,即可证明;
(2)根据“同比不减函数”的定义,
恒成立,分离参数
,构造函数,转化为
与函数的最值关系,即可求出结果;
(3)去绝对值化简函数解析式,根据“
同比不减函数”的定义,取
,因为
成立,求出
的范围,然后证明对任意的
,
恒成立,即可求出结论.
证明:(1)任取正常数,存在
,所以
,
因为,
即不恒成立,
所以不是“
同比不减函数”.
(2)因为函数是“
同比不减函数”,
所以恒成立,即
恒成立,
对一切
成立.
所以.
(3)设函数是“
同比不减函数”,
,
当时,因为
成立,
所以,所以
,
而另一方面,若,
(Ⅰ)当时,
因为,
所以,所以有
成立.
(Ⅱ)当时,
因为,
所以,
即成立.
综上,恒有有成立,
所以的取值范围是
.
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练习册系列答案
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