Question

选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=

π

6

；圆的极坐标方程ρ=2cosθ+6sinθ
（1）写出直线l的参数方程；将圆的极坐标方程化成直角坐标方程；
（2）设l与圆相交于A、B两点，求弦AB的长．

Answer 1

分析：（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线l经过点P（1，1），倾斜角α=

π

6

写出直线的参数方程．
（II）圆的圆心为（1，3），半径等于

10

，圆心到直线的距离 d，利用弦长公式求得AB 的值．

解答：解：（I）设直线l上任意一点Q（x，y）
∵直线l经过点P（1，1），倾斜角

π

6

．
∴直线的参数方程为：

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t

（t为参数），
方程ρ=2cosθ+6sinθ即方程ρ²=2ρcosθ+6ρsinθ，
化成直角坐标方程为：
x²+y²=2x+6y．
即（x-1）²+（y-3）²=10．
（II）圆的圆心为（1，3），半径等于

10

，
直线的普通方程为：

3

x-3y+3-

3

=0，
圆心到直线的距离：
d=

| 3 -9+3- 3 |

3+9

=

3

，
∴AB=2

r2-d2

=2

10-3

=2

7

．

点评：本题考查了直线的参数方程、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中用根与系数的关系，设而不求的思想方法．