题目内容

5.若函数f(x)=|1nx|-mx恰有3个零点,则m的取值范围为(0,$\frac{1}{e}$).

分析 由题意可得函数y=|1nx|的图象和直线y=mx有3个交点.求出过原点和曲线y=lnx相切的切线的斜率的值,可得m的范围.

解答 解:由题意函数f(x)=|1nx|-mx恰有3个零点,
可得函数y=|1nx|的图象和直线y=mx有3个交点.
设过原点和曲线y=lnx相切的切线的切点为
(a,lna),
则由切线斜率的几何意义可得切线的斜率
为y′|x=a=$\frac{1}{a}$=$\frac{lna-0}{a-0}$,求得a=e,
即此切线的斜率为$\frac{1}{e}$,∴0<m<$\frac{1}{e}$,
故答案为:$({0,\frac{1}{e}})$.

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断,切线斜率的几何意义,体现了数形结合、转化的数学思想,属于中档题.

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