Question

【题目】给出下列命题：
①已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“AB”的充分不必要条件；
②“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件；
③“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的充要条件；
④“平面向量 与 的夹角是钝角”的充要条件的“ ＜0”．
其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：对于①，当a=3时，A={1，a}={1，3}，满足AB，若AB，则a=2或3，
∴“a=3”是“AB”的充分不必要条件，故①正确；
对于②，∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件，故②正确；
对于③，函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax的最小正周期为π，
则 =π，|a|=1，解得：a=±1，故充分性不成立；
反之，若a=1，则f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x的最小正周期为π，必要性成立；
故函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π是“a=1”的必要不充分条件，故③错误；
对于④，当“平面向量 与 的夹角是钝角”时，“ ＜0”，
反之不成立，由于向量反向共线时，“ ＜0”，故④错误．
∴正确命题的序号是：①②．
所以答案是：①②．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．