题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）直线
与圆
相切，并与椭圆交于不同的两点
和
，若
为坐标原点），求线段
长度的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】
（1）椭圆的离心率和其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积，得
，
，
方程组求解，即可写出椭圆方程．
（2）直线与圆
相切得
，
，再联立直线和椭圆，得到关于
的一元二次方程，利用由韦达定理分别得到
，
，
，
，将
表示为关于
的函数，再求取值范围．
（1）
椭圆的离心率为
，
，即
，①
又其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为
．
，即
，②
，③
由①②③得
，
，
，
椭圆方程为．
（2）直线
与圆
相切，
，即，
直线与椭圆
交于不同的两点
和
，设
，
，
，
，
联立
，得
，
△
，
，
，
，
，
，，
又因为
，
把上面 代入上式，得，
，又
，
，∴
，
令
则
，
，所以
，
线段长度的取值范围．
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