Question

9．已知a∈R，函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}（a+1）{x}^{2}+ax$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＞1，函数y=f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由求导公式和法则求出f′（x），求出导函数的零点，然后分a=1，a＞1和a＜1三种情况，分别由二次函数的性质判断出导数在各区间段内的符号，由导数与函数单调性的关系判断原函数的单调区间；
（2）由（1）和条件判断出f（x）在[0，a+1]上的单调性，确定f（x）在[0，a+1]上的最大值，由条件列出不等式，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a，
①当a=1时，f′（x）=（x-1）²≥0，
所以f（x）在（-∞，+∞）单调递增；
②当a＜1时，
当x＜a或x＞1时，f′（x）＞0，当a＜x＜1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减；
③当a＞1时，
当x＜1或x＞a时，f′（x）＞0，当1＜x＜a时f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减．
综上，当a＜1时，f（x）在（-∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减；
当a=1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递增；
当a＞1时，f（x）在（-∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减．
（2）由（1）知，当a＞1时，
f（x）在（-∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减，
所以f（x）在[0，1），（a，a+1]内单调递增，在（1，a）内单调递减，
则f（x）在[0，a+1]上的最大值是f（0）或f（a+1），
因为f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（a+1）＞f（0）}\\{a＞1}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{（a+1）}^{3}-\frac{1}{2}（a+1）{（a+1）}^{2}+a（a+1）＞0}\\{a＞1}\end{array}\right.$，
化简得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4a+1＜0}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得$1＜a＜2+\sqrt{3}$，
所以a的取值范围是（1，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查求导公式、法则，利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想，是中档题．