Question

20．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=2AB=2，且BC₁⊥A₁C．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）设D是线段BB₁的中点，求三棱锥D-ABC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）证明A₁C⊥面ABC₁，即可证明：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）证明AC⊥面ABB₁A₁，利用等体积转换，即可求三棱锥D-ABC₁的体积．

解答 （1）证明：在直三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，有A₁A⊥面ABC，而AB?面ABC，
∴A₁A⊥AB，
∵A₁A=AC，∴A₁C⊥AC₁，
又BC₁⊥A₁C，BC₁?面ABC₁，AC₁?面ABC₁，BC₁∩AC₁=C₁
∴A₁C⊥面ABC₁，
而A₁C?面A₁ACC₁，则面ABC₁⊥面A₁ACC₁ …（6分）
（2）解：由（1）知A₁A⊥AB，A₁C⊥面ABC₁，A₁C⊥AB，故AB⊥面A₁ACC₁，
∴AB⊥AC，
则有AC⊥面ABB₁A₁，
∵D是线段BB₁的中点，
∴${V_{D-AB{C_1}}}={V_{{C_1}-ABD}}=\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查三棱锥D-ABC₁的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用定理是关键．