题目内容
5.已知m,n∈R,函数f(x)=ln(x+m)的图象与函数g(x)=ex-1+n的图象在x=1处有公共的切线.(1)求m,n的值;
(2)设b>a>0,求证:$\sqrt{ab}<\frac{b-a}{f(b)-f(a)}<\frac{a+b}{2}$.
分析 (1)求导数,利用函数f(x)=ln(x+m)的图象与函数g(x)=ex-1+n的图象在x=1处有公共的切线,可得f′(1)=g′(1),求出m,求出函数f(x)=ln(x+m)的图象在x=1处的切线方程为y=x-1,即可求出n的值;
(2)求出切线的斜率,即可证明结论.
解答 (1)解:∵g(x)=ex-1+n,
∴g′(x)=ex-1,
∵f(x)=ln(x+m),
∴f′(x)=$\frac{1}{x+m}$,
∵函数f(x)=ln(x+m)的图象与函数g(x)=ex-1+n的图象在x=1处有公共的切线,
∴f′(1)=g′(1),
∴$\frac{1}{1+m}$=1,
∴m=0,
∴函数f(x)=ln(x+m)的图象在x=1处的切线方程为y=x-1.
函数g(x)=ex-1+n的图象在x=1处的切线方程为y-1-n=x-1,即y=x+n,∴n=-1.
(2)证明:f(x)=lnx,∴f′(x)=$\frac{1}{x}$,
∵b>a>0,
∴a<$\frac{b-a}{f(b)-f(a)}$<b.
∴$\sqrt{ab}$<$\frac{b-a}{f(b)-f(a)}$<$\frac{a+b}{2}$.
点评 本题考查利用导数求切线的方程,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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15.倾斜角是45°,并且与原点的距离是5$\sqrt{2}$的直线的方程为( )
A. | x-y-10=0 | B. | x-y-10=0或x-y+10=0 | ||
C. | x-y+5$\sqrt{2}$=0 | D. | x-y+5$\sqrt{2}$=0或x-y-5$\sqrt{2}$=0 |