Question

【题目】已知函数，曲线在原点处的切线为.

（1）证明：曲线与轴正半轴有交点；

（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；

（3）若关于的方程（为正实数）有不等实根，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】分析：（1）求得，由，解得，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可得结果；（2）曲线在点处的切线，令，可证明对任意实数都有，即对任意实数都有，从而可得结论；（3）因为，所以为减函数，设方程的根为，由（2）可知，所以，利用导数研究函数的单调性，构造函数，可得，从而可得结论.

详解：（1）求得，由已知得：，解得，

即，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以，存在，

使得，即曲线与轴正半轴有交点；

（2）曲线在点处的切线，令，则，又，当时，单调递增，当时，单调递减，所以对任意实数都有，即对任意实数都有，

故曲线上的点都不在直线的上方；

（3）因为，所以为减函数，设方程的根为，由（2）可知，

所以，

记，则，当时，单调递增，当时，，单调递减，所以，对任意的实数，都有，即，

设方程的根，则，所以，

于是，令，又，则，所以在上为增函数，又，所以，，所以.