Question

已知定义域为R的函数y＝f(x)，满足f(2＋x)＝f(2－x)．

(1)求证：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；

(2)若方程f(x)＝0有三个实根，且一个根为0，求另外两根；

(3)若f(x)又是偶函数，且x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4，0]时的f(x)的表达式．

Answer 1

答案：
解析：

理：(1)p(x0，y0)是y＝f(x)的图象上任一点，则y0＝f(x0) 　　点p(x0，y0)关于直线x＝2的对称点是(4－x0，y0)． 　　f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0． 　　点(4－x0，y0)也在函数y＝f(x)的图象上 　　y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称． 　　(2)x＝0是方程f(x)＝0的一个根， 　　f(0)＝0． 　　又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)＝0，x＝4是方程的一个根． 　　设x0是方程的另一个根，则f(X0)＝0 　　由f(x0)＝f[2＋(x0－2)]＝f[2－(x0－2)]＝f(4－x0) 　　4－x0＝x0　x0＝4． 　　方程的另两个根是2，4． 　　(3)设x[－2，0]，则－x[0，2]，又x[0，2]，f(x)＝2x－1 　　f(－x)＝－2x－1，又f(x)为偶函数 　　f(x)＝f(－x)＝－2x－1． 　　又f(x＋4)＝f[2＋(2＋x)]＝f[2－(2＋x)]＝f(－x)＝f(x) 　　f(x)是以4为周期的周期函数． 　　当x[－4，－2]时，x＋4[0，2]， 　　f(x)＝f(x＋4)＝2(x＋4)－1＝2x＋7 　　f(x)＝． 　　解：(1)∵对于任意x∈R，都有f(x)－x≥0，且当x∈(0，2)时， 　　有f(x)≤．令x＝1 　　∴1≤f(1)≤． 　　即f(1)＝1．　5分 　　(2)由a－b＋c＝0及f(1)＝1． 　　有，可得b＝a＋c＝．　7分 　　又对任意x，f(x)－x≥0，即ax2－x＋c≥0． 　　∴a＞0且Δ≤0． 　　即－4ac≤0，解得ac≥．　9分 　　(3)由(2)可知a＞0，c＞0． 　　a＋c≥2≥2·＝．　10分 　　当且仅当时等号成立．此时 　　a＝c＝．　11分 　　∴f(x)＝x2＋x＋， 　　F(x)＝f(x)－mx＝[x2＋(2－4m)x＋1]．　12分 　　当x∈[－2，2]时，f(x)是单调的，所以F(x)的顶点一定在[－2，2]的外边． 　　∴≥2．　13分 　　解得m≤－或m≥．　14分