题目内容

函数f(x)=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,0<?<
π
2
)在一个周期内的图象如图所示,P(x0,y0)是图象的最髙点,Q是图象的最低点,M(3,0)是线段PQ与x轴的交点,且cos∠POM=
5
5
,|OP|=
5

(I)求出点P的坐标;
(Ⅱ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅲ)将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y=g(x)的图象,试求函数h(x)=f(x)•g(x)的单调递增区间.试求函数h(x)=f(x)•g(x)的单调递增区间.
分析:(I)由cos∠POM=
5
5
得sin∠POM=
2
5
5
,|OP|=
5
,利用三角函数的定义可求得点P的坐标;
(Ⅱ)由(I)得A=2,
1
4
T=3-1=2,可求得ω,再由
π
4
×1+φ=
π
2
可求得φ,从而可得函数f(x)的解析式;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知f(x)=2sin(
π
4
x+
π
4
),而g(x)=f(x-2)=2sin(
π
4
x-
π
4
),可求得h(x)=f(x)g(x)=-2cos
π
2
x,利用余弦函数的单调性可求得h(x)的单调增区间.
解答:解:(I)由cos∠POM=
5
5
得sin∠POM=
2
5
5

∵|OP|=
5
y0
|OP|
=
2
5
5
x0
|OP|
=
5
5

∴x0=1,y0=2,…(2分)
∴P(1,2),…(3分)
(II) 设函数f(x)的最小正周期为T,
由(I)得A=2,
∵M(3,0)为曲线上的一个零点,
由图知
1
4
T=3-1=2,T=8,
∴ω=
π
4
,…(4分)
又由图得:
π
4
×1+φ=
π
2

∴φ=
π
4

∴f(x)=2sin(
π
4
x+
π
4
)…(6分)
(Ⅲ)g(x)=f(x-2)=2sin(
π
4
x-
π
4
),…(8分)
h(x)=f(x)g(x)=4sin(
π
4
x+
π
4
)sin(
π
4
x-
π
4
)=2(sin2
π
4
-cos2
π
4
)=-2cos
π
2
x…(10分)
由2kπ<
π
2
x<π+2kπ,k∈Z得4k<x<2+4k,k∈Z,
∴h(x)的单调增区间为(4k,2+4k)(k∈Z).(12分)
点评:本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查倍角公式与余弦函数的单调性的综合应用,属于难题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网