题目内容
函数f(x)=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,0<?<
)在一个周期内的图象如图所示,P(x0,y0)是图象的最髙点,Q是图象的最低点,M(3,0)是线段PQ与x轴的交点,且cos∠POM=
,|OP|=
.
(I)求出点P的坐标;
(Ⅱ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅲ)将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y=g(x)的图象,试求函数h(x)=f(x)•g(x)的单调递增区间.试求函数h(x)=f(x)•g(x)的单调递增区间.
π |
2 |
| ||
5 |
5 |
(I)求出点P的坐标;
(Ⅱ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅲ)将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y=g(x)的图象,试求函数h(x)=f(x)•g(x)的单调递增区间.试求函数h(x)=f(x)•g(x)的单调递增区间.
分析:(I)由cos∠POM=
得sin∠POM=
,|OP|=
,利用三角函数的定义可求得点P的坐标;
(Ⅱ)由(I)得A=2,
T=3-1=2,可求得ω,再由
×1+φ=
可求得φ,从而可得函数f(x)的解析式;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知f(x)=2sin(
x+
),而g(x)=f(x-2)=2sin(
x-
),可求得h(x)=f(x)g(x)=-2cos
x,利用余弦函数的单调性可求得h(x)的单调增区间.
| ||
5 |
2
| ||
5 |
5 |
(Ⅱ)由(I)得A=2,
1 |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
(Ⅲ)由(Ⅱ)知f(x)=2sin(
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
解答:解:(I)由cos∠POM=
得sin∠POM=
.
∵|OP|=
,
=
,
=
,
∴x0=1,y0=2,…(2分)
∴P(1,2),…(3分)
(II) 设函数f(x)的最小正周期为T,
由(I)得A=2,
∵M(3,0)为曲线上的一个零点,
由图知
T=3-1=2,T=8,
∴ω=
,…(4分)
又由图得:
×1+φ=
,
∴φ=
,
∴f(x)=2sin(
x+
)…(6分)
(Ⅲ)g(x)=f(x-2)=2sin(
x-
),…(8分)
h(x)=f(x)g(x)=4sin(
x+
)sin(
x-
)=2(sin2
-cos2
)=-2cos
x…(10分)
由2kπ<
x<π+2kπ,k∈Z得4k<x<2+4k,k∈Z,
∴h(x)的单调增区间为(4k,2+4k)(k∈Z).(12分)
| ||
5 |
2
| ||
5 |
∵|OP|=
5 |
y0 |
|OP| |
2
| ||
5 |
x0 |
|OP| |
| ||
5 |
∴x0=1,y0=2,…(2分)
∴P(1,2),…(3分)
(II) 设函数f(x)的最小正周期为T,
由(I)得A=2,
∵M(3,0)为曲线上的一个零点,
由图知
1 |
4 |
∴ω=
π |
4 |
又由图得:
π |
4 |
π |
2 |
∴φ=
π |
4 |
∴f(x)=2sin(
π |
4 |
π |
4 |
(Ⅲ)g(x)=f(x-2)=2sin(
π |
4 |
π |
4 |
h(x)=f(x)g(x)=4sin(
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
由2kπ<
π |
2 |
∴h(x)的单调增区间为(4k,2+4k)(k∈Z).(12分)
点评:本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查倍角公式与余弦函数的单调性的综合应用,属于难题.
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,若△EFG是边长为2的正三角形,则f(1)=( )
A、
| ||||
B、
| ||||
C、2 | ||||
D、
|