Question

如果复数z=cosθ+isinθ，θ∈（0，

π

2

），记n（n∈N^*）个Z的积为Z^N，通过验证n=2，n=3，n=4…，的结果zⁿ，推测zⁿ=______．（结果用θ，n，i表示）

Answer 1

由条件，复数z=cosθ+isinθ，θ∈（0，

π

2

），z¹=cosθ+isinθ，
z²=（cosθ+isinθ）²=cos2θ-sin2θ+2isinθcosθ=cos2θ+isin2θ，
z³=（cosθ+isinθ）³
=（cos2θ+isin2θ）（cosθ+isinθ）
=cos2θcosθ-sin2θsinθ+i（sin2θcosθ+cos2θsinθ）
=cos3θ+isin3θ；
推测zⁿ=cosnθ+isinnθ．
故答案为：cosnθ+isinnθ．