Question

10．已知二次函数f（x）=x²+mx+1（m为整数）且关于x的方程f（x）-2=0在区间$（-3，\frac{1}{2}）$内有两个不同的实根，
（1）求整数m的值；
（2）若x∈[1，t]时，总有f（x-4）≤4x，求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的图象与性质以及对应方程根的情况，列出不等式组，求出m的值；
（2）由（1）中m的值求出一元二次不等式f（x-4）≤4x的解集，得出对应t的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）-2=x²+mx-1=0在区间$（-3，\frac{1}{2}）$内有两个不同的实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-3）＞0}\\{f（\frac{1}{2}）＞0}\\{-3＜-\frac{m}{2}＜\frac{1}{2}}\\{△{=m}^{2}+4＞0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m＜\frac{8}{3}}\\{m＞\frac{3}{2}}\\{-1＜m＜6}\\{m∈Z}\end{array}\right.$即m=2；…（8分）
（2）∵m=2，∴f（x-4）-4x=x²-10x+9≤0，
解得1≤x≤9；
∴当x∈[1，t]时，总有f（x-4）≤4x，
此时t的最大值为9．…（12分）．

点评 本题考查了一元二次方程与二次函数以及对应的一元二次不等式的应用问题，是基础题目．