Question

【题目】设函数f（x）= ．
（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域M；
（2）当a，b∈RM时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=4时，由|x+1|+|x﹣1|≥4，

等价于 或 或 ，

解得x≤﹣2或x≥2或x∈．

则不等式的解集为M={x|x≤﹣2或x≥2}

（2）解：证明：当a，b∈CRM时，即﹣2＜a，b＜2，

所以4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）

=4a2+4b2﹣16﹣a2b2=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，所以4（a+b）2＜（4+ab）2，

即2|a+b|＜|4+ab|

【解析】（1）由题意和二次根式的被开方数非负，可得|x+1|+|x﹣1|≥4，运用绝对值的意义和对x讨论，解不等式即可得到所求定义域；（2）可得﹣2＜a，b＜2，要证2|a+b|＜|4+ab|，可证4（a+b）2＜（4+ab）2 ， 作差4（a+b）2﹣（4+ab）2 ， 运用平方差和因式分解，即可得证．
【考点精析】利用函数的定义域及其求法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零．