Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）= e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（ ）
A.f（2）g（2015）＜g（2017）
B.f（2）g（2015）＞g（2017）
C.g（2015）＞f（2）g（2017）
D.g（2015）＞f（2）g（2017）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）= e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，
∴f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），
∴f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1，
∴f（x）=e2x+x2﹣2x，
设F（x）=e2xg（x），
F′（x）=g′（x）e2x+2g（x）e2x=e2x[g′（x）+2g（x）]，
∵e2x＞0，g′（x）+2g（x）＜0，
F′（x）＜0恒成立，
∴F（2015）＞F（2017），
f（2）=e4 ，
e2×2015g（2015）＞e2×2017g（2017），
∴g（2015）＞e4g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），
故答案选：D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．