Question

【题目】已知函数f（x）= ，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（ ，1）∪（1，e﹣1]
【解析】解：∵g（x）=kx+1，
∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，
即f（x）=kx+1，
则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，
当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=ex﹣1 ，
当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=ex﹣2 ，
当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=ex﹣3 ，
…
当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；
函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；
作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，
C（0，1），B（2，e），A（1，e）；
故kAC=e﹣1，kBC= ；
在点C处的切线的斜率k=e0=1；
结合图象可得，
实数k的取值范围为（ ，1）∪（1，e﹣1]；
所以答案是：（ ，1）∪（1，e﹣1]

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的零点与方程根的关系(二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点)．