Question

（2013•淄博二模）已知函数f(x)=

3

sinωx•cosωx+cos2ωx-

1

2

(ω＞0)，其最小正周期为

π

2

．
（I）求f（x）的表达式；
（II）将函数f（x）的图象向右平移

π

8

个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的表达式为2sin（2ωx+

π

6

），再根据它的最小正周期为

π

2

，求得ω=2，从而求得f（x）的表达式．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，可得g(x)=sin(2x-

π

3

)，由题意可得函数y=g（x）与y=k在区间[0，

π

2

]上有且只有一个交点，结合正弦函数的图象求得实数k的取值范围．

解答：解：（I）f(x)=

3

sinωx•cosωx+cos2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

cos2ωx+1

2

-

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)．…（3分）
由题意知f（x）的最小正周期T=

π

2

，T=

2π

2ω

=

π

ω

=

π

2

，所以ω=2…（5分）
所以，f(x)=sin(4x+

π

6

)…（6分）
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个

π

8

个单位后，得到y=sin(4x-

π

3

)的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin(2x-

π

3

)的图象．
所以g(x)=sin(2x-

π

3

)…（9分）
因为0≤x≤

π

2

，所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．
g（x）+k=0 在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=k在区间[0，

π

2

]上有且只有一个交点，
由正弦函数的图象可知-

3

2

≤-k＜

3

2

，或k=-1，
所以-

3

2

＜k≤

3

2

，或k=-1．…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．