题目内容
13.下列命题中,正确的是④(填写所有正确结论的序号)①向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$平行,则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的方向相同或相反;
②在△ABC中,点O为平面内一点,若满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$,则点O为△ABC的外心;
③函数$y=tan(2x-\frac{π}{3})$的对称中心为$(\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6},0),(k∈Z)$
④在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是直角三角形.
分析 $\overrightarrow{0}$的方向不确定,且与任意向量均平行,可判断(1);由点O为△ABC的垂心,可判断(2);直接求出函数y=tan(2x-$\frac{π}{3}$)的对称中心判断③;由三角恒等变换的运用化简已知等式判断④.
解答 解:对于①,$\overrightarrow{0}$的方向不确定,且与任意向量均平行,故①错误;
对于②,在△ABC中,点O为平面内一点,若满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$,则点O为△ABC的垂心,故②错误;
对于③,由2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$kπ,k∈Z得x=$\frac{1}{4}$kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z,
∴函数y=tan(2x-$\frac{π}{3}$)的对称中心为($\frac{1}{4}$kπ+$\frac{π}{6}$,0),(k∈Z),故③错误;
对于④,在△ABC中,由sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),得sin(A-B)=1-2cosAsinB,
∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,
∴sinAcosB+cosAsinB=1,
∴sin(A+B)=1,即A+B=90°,
∴△ABC是直角三角形,故④正确.
故答案为:④.
点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,此类题型往往综合较多的其它知识点,综合性强,难度中档.
练习册系列答案
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C. | 命题“?x0∈R,使得x02+x0+1<0”的否定是:“?x∈R,均有x2+x+1<0” | |
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