Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且点到点的最大距离为，点到点的最小距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线交椭圆于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题意可得出关于、的方程组，求出这两个量的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）分两种情况讨论：①轴，求得；②直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，由直线与圆相切得出，再将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理结合弦长公式可求得的最大值，进而可求得面积的最大值.

（1）设椭圆的焦距为，则，

解得，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）设、.

①当轴时，；

②当与轴不垂直时，设直线的方程为，则，

.

将代入椭圆方程整理，得，

，.

，

当且仅当时，等号成立.

，因此，面积的最大值为.