题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若时,请讨论函数
的单调性;
(Ⅱ)当时,若
在
上有零点,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)分类讨论,详见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)求导,分,
讨论导函数正负,即得函数
的单调性;
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中分析得到的单调性,且,可得
,分
两种情况讨论,结合单调性和边界点,极值点正负,即得解.
解:(Ⅰ)函数的定义域为
,
.
由得
或
.
当时,
在
上恒成立,
所以的单调递减区间是
,没有单调递增区间.
当时由
得
,
为增函数
由得
,
为减函数
所以的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
故当时,
的单调递减区间是
,没有单调递增区间.
当时,
的单调递增区间是
,单调递减区间是
(Ⅱ)当时,
的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
,
当时,
在
为增函数,
在
上有零点,则
当时,
在
递增,在
递减,
即
综合得:实数的取值范围为
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