题目内容
(本题满分14分)
抛物线D以双曲线的焦点为焦点.
(1)求抛物线D的标准方程;
(2)过直线上的动点P作抛物线D的两条切线,切点为A,B.求证:直线AB过定点Q,并求出Q的坐标;
(3)在(2)的条件下,若直线PQ交抛物线D于M,N两点,求证:|PM|·|QN|=|QM|·|PN|
抛物线D以双曲线的焦点为焦点.
(1)求抛物线D的标准方程;
(2)过直线上的动点P作抛物线D的两条切线,切点为A,B.求证:直线AB过定点Q,并求出Q的坐标;
(3)在(2)的条件下,若直线PQ交抛物线D于M,N两点,求证:|PM|·|QN|=|QM|·|PN|
(1)
(2)(1,1)
(3)证明见解析。
(2)(1,1)
(3)证明见解析。
(1)由题意,
所以,抛物线D的标准方程为 …………3分
(2)设
由
抛物线D在点A处的切线方程为…………4分
而A点处的切线过点
即
同理,
可见,点A,B在直线上.
令
所以,直线AB过定点Q(1,1) …………6分
(3)设
直线PQ的方程为
由
得
由韦达定理, …………9分
而
…………12分
将代入方程(*)的左边,得
(*)的左边
=0.
因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|. …………14分
所以,抛物线D的标准方程为 …………3分
(2)设
由
抛物线D在点A处的切线方程为…………4分
而A点处的切线过点
即
同理,
可见,点A,B在直线上.
令
所以,直线AB过定点Q(1,1) …………6分
(3)设
直线PQ的方程为
由
得
由韦达定理, …………9分
而
…………12分
将代入方程(*)的左边,得
(*)的左边
=0.
因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|. …………14分
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