Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，

1

2

]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函数．
其中正确的命题的序号是（　　）

• A、①
• B、②③
• C、①②③
• D、①④

Answer 1

分析：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；根据f（k-x）与f（-x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称；再判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；而由①的结论，易判断函数y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的单调性，但要说明④不成立，我们可以举出一个反例．

解答：①中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]
∴f（x）=|x-{x}|=|a|∈[0，

1

2

]
所以①正确；
②中∵f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x）
所以关于x=

k

2

对称，故②正确；
③中，∵f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，x=-

1

2

时，m=-1，
f（-

1

2

）=

1

2

x=

1

2

时，m=0，
f（

1

2

）=

1

2

所以f（-

1

2

）=f（

1

2

）
所以④错误．
故选C

点评：本题考查的知识点是利用函数的三要素、性质判断命题的真假，我们要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，及对称性、周期性和单调性的证明方法，对4个结论进行验证．