题目内容
12.已知A、B为抛物线C:y2=4x上的不同两点,F为抛物线C的焦点,若$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$,则直线AB的斜率为多少?分析 先设点A,B的坐标,写出直线方程后与抛物线方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程,求出两根,再根据向量的有关知识得到坐标的关系,代入抛物线的方程中求得直线AB的斜率.
解答 解:由题意可知直线的斜存在,故可设为k(k≠0),
∵抛物线 C:y2=4x焦点F(1,0),准线x=-1,则直线AB的方程为y=k(x-1)
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$,可得k2x2-2(2+k2)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2(2+{k}^{2})}{{k}^{2}}$,y1+y2=k(x1+x2-2)=$k•(\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}-2)=\frac{4}{k}$,①
$\overrightarrow{FA}=({x}_{1}-1,{y}_{1})$,$\overrightarrow{FB}=({x}_{2}-1,{y}_{2})$.
∵$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-1=-4({x}_{2}-1)}\\{{y}_{1}=-4{y}_{2}}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4{x}_{2}+5}\\{{y}_{1}=-4{y}_{2}}\end{array}\right.$,②
联立①②可得,${x}_{2}=\frac{3{k}^{2}-4}{3{k}^{2}},{y}_{2}=-$$\frac{4}{3k}$,代入抛物线方程y2=4x可得
$\frac{16}{9{k}^{2}}=4•\frac{3{k}^{2}-4}{3{k}^{2}}$,即9k2=16,∴k=±$\frac{4}{3}$.
点评 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线定义的应用以及向量的有关知识,是中档题.
A. | $\frac{5}{6}$ | B. | $\frac{3}{13}$ | C. | $\frac{5}{9}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |