Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜

π

2

．
（1）若cos

π

4

cosφ-sin

π

4

sinφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π

3

，求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）在R上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用特殊角的三角函数以及两角和与差公式化简为cos（

π

4

+Φ）=0，即可求出φ的值．
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π

3

，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式，再由正弦函数的单调性求得递增区间．

解答：解：（1）cos

π

4

cosφ-sin

π

4

sinφ=cos（

π

4

+φ）=0
∵|φ|＜

π

2

．
∴φ=

π

4

（2）由（1）得，f（x）=sin（ωx+

π

4

）依题意，

T

2

=

π

3

又∵T=

2π

ω

故ω=3，
∴f（x）=sin（3x+

π

4

）
2kπ-

π

2

≤3x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）⇒-

π

4

+

2

3

kπ≤x≤

2

3

kπ+

π

12

（k∈Z）
∴函数f（x）在R上的单调递增区间为[-

π

4

+

2

3

kπ，

2

3

kπ+

π

2

]（k∈Z）

点评：本题是中档题，考查三角函数的字母变量的求法，三角函数的单调性，考查计算能力，是常考题．