题目内容
已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<
.
(1)若cos
cosφ-sin
sinφ=0,求φ的值;
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
,求函数f(x)的解析式,并求函数f(x)在R上的单调递增区间.
π |
2 |
(1)若cos
π |
4 |
π |
4 |
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
π |
3 |
分析:(1)利用特殊角的三角函数以及两角和与差公式化简为cos(
+Φ)=0,即可求出φ的值.
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
,求出周期,求出ω,得到函数f(x)的解析式,再由正弦函数的单调性求得递增区间.
π |
4 |
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
π |
3 |
解答:解:(1)cos
cosφ-sin
sinφ=cos(
+φ)=0
∵|φ|<
.
∴φ=
(2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+
)依题意,
=
又∵T=
故ω=3,
∴f(x)=sin(3x+
)
2kπ-
≤3x+
≤2kπ+
(k∈Z)⇒-
+
kπ≤x≤
kπ+
(k∈Z)
∴函数f(x)在R上的单调递增区间为[-
+
kπ,
kπ+
](k∈Z)
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
∵|φ|<
π |
2 |
∴φ=
π |
4 |
(2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+
π |
4 |
T |
2 |
π |
3 |
又∵T=
2π |
ω |
∴f(x)=sin(3x+
π |
4 |
2kπ-
π |
2 |
π |
4 |
π |
2 |
π |
4 |
2 |
3 |
2 |
3 |
π |
12 |
∴函数f(x)在R上的单调递增区间为[-
π |
4 |
2 |
3 |
2 |
3 |
π |
2 |
点评:本题是中档题,考查三角函数的字母变量的求法,三角函数的单调性,考查计算能力,是常考题.

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