题目内容

已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<
π
2

(1)若cos
π
4
cosφ-sin
π
4
sinφ=0,求φ的值;
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
π
3
,求函数f(x)的解析式,并求函数f(x)在R上的单调递增区间.
分析:(1)利用特殊角的三角函数以及两角和与差公式化简为cos(
π
4
+Φ)=0,即可求出φ的值.
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
π
3
,求出周期,求出ω,得到函数f(x)的解析式,再由正弦函数的单调性求得递增区间.
解答:解:(1)cos
π
4
cosφ-sin
π
4
sinφ=cos(
π
4
+φ)=0
∵|φ|<
π
2

∴φ=
π
4

(2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+
π
4
)依题意,
T
2
=
π
3

又∵T=
ω
故ω=3,
∴f(x)=sin(3x+
π
4

2kπ-
π
2
≤3x+
π
4
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)⇒-
π
4
+
2
3
≤x≤
2
3
kπ+
π
12
(k∈Z)
∴函数f(x)在R上的单调递增区间为[-
π
4
+
2
3
2
3
kπ+
π
2
](k∈Z)
点评:本题是中档题,考查三角函数的字母变量的求法,三角函数的单调性,考查计算能力,是常考题.
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