题目内容
【题目】给定函数,若对于定义域中的任意
,都有
恒成立,则称函数
为“爬坡函数”.
(1)证明:函数是爬坡函数;
(2)若函数是爬坡函数,求实数m的取值范围;
(3)若对任意的实数b,函数都不是爬坡函数,求实数c的取值范围.
【答案】(1)详见解析(2)或
(3)
【解析】
试题分析:(1)利用定义直接判断f(x)-≥0恒成立即可;(2)由题意可知,4x+m2x+1+2m2﹣4≥0恒成立,利用换元思想,设=t,则t>0,上式变为
,分别讨论对称轴,求出函数的最小值即可;(3)由题意可知,对任意的实数b,存在x,使得
,相当于f(x)-x=0有两不相等的实根,得出
,即
-b+1-4c>0对任意的实数b恒成立,在利用二次函数的性质可知
试题解析:(1)∵,
∴f(x)≥x恒成立,即得函数f(x)=x2+1是爬坡函数;
(2)由题意可知,4x+m2x+1+x+2m2﹣4≥x恒成立,
∴4x+m2x+1+2m2﹣4≥0恒成立.
设2x=t,则t>0,上式变为t2+2mt+2m2﹣4≥0,
设g(t)=t2+2mt+2m2﹣4=(t+m)2+m2﹣4(t>0)
①若﹣m>0,则,解得m≤﹣2;
②若﹣m≤0,则g(0)=2m2﹣4≥0,解得;
综上所述,m的取值范围是m≤﹣2或;
(3)由题意,对任意的实数b,存在x,使得,
即,
故,即b2﹣b+1﹣4c>0对任意的实数b恒成立,
∴,解得
.
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