Question

【题目】给定函数，若对于定义域中的任意，都有恒成立，则称函数为“爬坡函数”．

（1）证明：函数是爬坡函数；

（2）若函数是爬坡函数，求实数m的取值范围；

（3）若对任意的实数b，函数都不是爬坡函数，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）或（3）

【解析】

试题分析：（1）利用定义直接判断f（x）-≥0恒成立即可；（2）由题意可知，4x+m2x+1+2m2﹣4≥0恒成立，利用换元思想，设=t，则t＞0，上式变为，分别讨论对称轴，求出函数的最小值即可；（3）由题意可知，对任意的实数b，存在x，使得，相当于f（x）-x=0有两不相等的实根，得出，即-b+1-4c＞0对任意的实数b恒成立，在利用二次函数的性质可知

试题解析：（1）∵，

∴f（x）≥x恒成立，即得函数f（x）=x2+1是爬坡函数；

（2）由题意可知，4x+m2x+1+x+2m2﹣4≥x恒成立，

∴4x+m2x+1+2m2﹣4≥0恒成立．

设2x=t，则t＞0，上式变为t2+2mt+2m2﹣4≥0，

设g（t）=t2+2mt+2m2﹣4=（t+m）2+m2﹣4（t＞0）

①若﹣m＞0，则，解得m≤﹣2；

②若﹣m≤0，则g（0）=2m2﹣4≥0，解得；

综上所述，m的取值范围是m≤﹣2或；

（3）由题意，对任意的实数b，存在x，使得，

即，

故，即b2﹣b+1﹣4c＞0对任意的实数b恒成立，

∴，解得．