题目内容
【题目】已知定义在上的函数
为增函数,且
,则
等于( )
A. B.
C.
或
D.
【答案】A
【解析】
设f(1)=t,由题意知t≠0,令x=1,代入f(x)f[f(x)+]=1,得f(t+1)=
,令x=t+1代入f(x)f[f(x)+
]=1,得f(
+
)=t=f(1),由在(0,+∞)上的函数f(x)为单调函数,得t2﹣t﹣1=0,由此能求出f(1).
设f(1)=t,由题意知t≠0,
令x=1,代入f(x)f[f(x)+]=1,得f(1)f[f(1)+1]=1,
即f(t+1)=,
令x=t+1代入f(x)f[f(x)+]=1得,f(t+1)f[f(t+1)+
]=1,
∴f(+
)=t=f(1),
∵在(0,+∞)上的函数f(x)为单调函数,
∴+
=1,化简得t2﹣t﹣1=0,
解得,t=或t=
.
∵定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数,且f(x)f(f(x)+)=1,
∴f(1)=.
故选:A.
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