题目内容
3.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE;
(2)设M为AB中点,求证:MF∥平面DAE.
分析 (1)根据条件可以得到BC⊥平面ABE,从而有AE⊥BC,根据BF⊥平面ACE,便可得到AE⊥BF,从而可以根据线面垂直的判定定理得到AE⊥平面BCE,从而有AE⊥BE;
(2)根据BE=BC,BF⊥CE便可得出F为CE中点,可取AC的中点N,连接MN,FN,MF,根据三角形中位线性质及面面平行的判定定理便可得出平面MNF∥平面DAE,从而得出MF∥平面DAE.
解答 证明:(1)证明:AD⊥平面ABE,AD∥BC;
∴BC⊥平面ABE,AE?平面ABE;
∴AE⊥BC;
又∵BF⊥平面ACE,则AE⊥BF,BF∩BC=B;
∴AE⊥平面BCE,BE?平面BCE;
∴AE⊥BE;
(2)如图,取AC中点N,连结MN,FN,FM;
∵M,N分别为AB,AC的中点;
∴MN∥BC;
∴MN∥AD,AD?平面DAE,MN?平面DAE;
∴MN∥平面DAE;
EB=BC,BF⊥CE,∴F为CE中点;
∴NF∥AE;
∴NF∥平面DAE,NF∩MN=N;
∴平面MNF∥平面DAE,MF?平面MNF;
∴MF∥平面DAE.
点评 考查三角形中位线的性质,等腰三角形底边的中线也是高线,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理,以及面面平行的性质.
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