题目内容
【题目】已知函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）设函数图象上不重合的两点
.证明：
.（
是直线
的斜率）
【答案】（1）①当
时，函数
在
上单调递增；②当
时，函数在
上单调递增，在
上单调递减.（2）证明见解析
【解析】
（1）先由题意，得到函数定义域，对函数求导，分别讨论和两种情况，解对应的不等式，即可得出其单调性；
（2）根据斜率公式，由题意，得到
，再由
，将证明的问题转化为证明
，令
，即证
时，
成立，设
，对其求导，用导数的方法求其范围，即可得出结果.
（1）函数的定义域为，
且
①当时，
，此时在单调递增；
②当时，令
可得
或
（舍），
，
由
得
，由
得
，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上：①当时，函数在上单调递增；
②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题意得
，
所以
又，
要证
成立，
即证：
成立，
即证：成立.
令，即证时，成立.
设
则
所以函数
在
上是增函数，
所以
，都有
，
即，，
所以
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