题目内容
【题目】为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：
），经统计其增长长度均在区间
内，将其按
，
，
，
，
，
分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为
及以上的产品为优质产品．
（Ⅰ）求图中
的值；
（Ⅱ）已知这120件产品来自于
，
两个试验区，部分数据如下列联表：
|
| 合计 | |
优质产品 | 20 | ||
非优质产品 | 60 | ||
合计 |
将联表补充完整，并判断是否有
的把握认为优质产品与，两个试验区有关系，并说明理由；
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
）
（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数
的分布列和数学期望
．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）没有
的把握（Ⅲ）分布列见解析，
【解析】
（I）根据小长方形面积和为
列方程，解方程求得
的值.（II）根据题目所给数据填写好
联表，计算
的值，由此判断有的把握认为优质产品与
，
两个试验区有关系.（III）利用二项分布计算出
的分布列和数学期望.
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：
，
解得．
（Ⅱ）根据频率分布直方图得：
样本中优质产品有
，
列联表如下表所示：
|
| 合计 | |
优质产品 | 10 | 20 | 30 |
非优质产品 | 60 | 30 | 90 |
合计 | 70 | 50 | 120 |
∴
，
∴没有的把握认为优质产品与，两个试验区有关系．
（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是
，
随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且
，
∴
，
，
，
，
，
∴的分布列为：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
|
|
．
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