题目内容
【题目】已知椭圆,点
在椭圆
上,椭圆
的离心率是
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点为椭圆长轴的左端点,
为椭圆上异于椭圆
长轴端点的两点,记直线
斜率分别为
,若
,请判断直线
是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由.
【答案】(1)(2)过定点
【解析】
(1)由点M(﹣1,)在椭圆C上,且椭圆C的离心率是
,列方程组求出a=2,b
,由此能求出椭圆C的标准方程.
(2)设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+m,联立,得:(4k2+3)x2+8kmx+(4m2﹣12)=0,利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件得直线PQ的方程过定点(1,0);再验证直线PQ的斜率不存在时,同样推导出x0=1,从而直线PQ过(1,0).由此能求出直线PQ过定点(1,0).
(1)由点在椭圆
上,且椭圆
的离心率是
,
可得,
可解得:
故椭圆的标准方程为
.
(2)设点的坐标分别为
,
(ⅰ)当直线斜率不存在时,由题意知,直线方程和曲线方程联立得:
,
,
(ⅱ)当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
联立,消去
得:
,
由,有
,
由韦达定理得:,
,
故,可得:
,
可得:,
整理为:,
故有,
化简整理得:,解得:
或
,
当时直线
的方程为
,即
,过定点
不合题意,
当时直线
的方程为
,即
,过定点
,
综上,由(ⅰ)(ⅱ)知,直线过定点
.
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