题目内容
13.对任意锐角△ABC,均有sinA+sinB+sinC>M成立,则实数M的最大值为2.分析 利用导数证明sinx$>\frac{2}{π}x$在x∈(0,$\frac{π}{2}$)上成立,然后可得在锐角△ABC中,有sinA$>\frac{2}{π}A$,sinB>$\frac{2}{π}B$,
sinC$>\frac{2}{π}C$,作和后结合三角形内角和定理得答案.
解答 解:设f(x)=$\frac{sinx}{x}$(0$<x<\frac{π}{2}$),
则f′(x)=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$,
令h(x)=xcosx-sinx,则h′(x)=-xsinx<0在(0,$\frac{π}{2}$)上恒成立,
∴h(x)=xcosx-sinx在(0,$\frac{π}{2}$)上为减函数,故xcosx-sinx<0在(0,$\frac{π}{2}$)上恒成立,
∴f′(x)<0,
则f(x)=$\frac{sinx}{x}$在(0,$\frac{π}{2}$)上为减函数,
而f($\frac{π}{2}$)=$\frac{2}{π}$,∴f(x)=$\frac{sinx}{x}$$>\frac{2}{π}$,即sinx$>\frac{2}{π}x$.
则在锐角△ABC中,有
sinA$>\frac{2}{π}A$,sinB>$\frac{2}{π}B$,sinC$>\frac{2}{π}C$.
三式相加得:sinA+sinB+sinC>$\frac{2}{π}$(A+B+C),
又A+B+C=π,
∴sinA+sinB+sinC>2.
则满足sinA+sinB+sinC>M成立的实数M的最大值为2.
故答案为:2.
点评 本题考查利用导数求函数的最值,考查了三角形内角和定理,训练了不等式性质的应用,是中档题.
练习册系列答案
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