Question

7．已知等差数列{a_n}，满足a₁=2，a₃=6
（1）求该数列的公差d和通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}的前n项的和为${b_n}=\frac{4}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{{a}_{3}-{a}_{1}}{2}$可求出公差，进而可得结论；
（2）通过裂项可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=2，a₃=6，
∴公差d=$\frac{{a}_{3}-{a}_{1}}{2}$=$\frac{6-2}{2}$=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d
=2+2（n-1）=2n；
（2）∵a_n=2n，
∴${b_n}=\frac{4}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$
=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．