题目内容
(本小题14分) 已知函数,若
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)若函数在区间
上有两个零点,求实数b的取值范围;
(3)当
(1);(2)(1,
] ;(3)证明详见解析.
解析试题分析:(1)先求导数,再求切线的斜率,由点斜式可得切线方程;(2)先求 ,然后确定函数
g(x)的单调区间,找到满足函数在区间
上有两个零点d的条件,解之即可;(3)欲证原不等式可转化为证
,在构造函数
,由函数h(x)的单调性可证的
<0,即可得证.
试题解析:(1)因为,
所以曲线在点
处的切线方程为
(2)=
,(x>0)
=
,由
>0得x>1, 由
<0得0<x<1.
所以的单调递增区间是(1,+
),单调递减区间(0, 1)
x=1时,取得极小值
.
因为函数在区间
上有两个零点,所以
,解得
,
所以b的取值范围是(1,
(3)当
即证:
即证:
构造函数:
当时,
所以,
又,所以
即
所以
考点:1.导数的几何意义;2.函数的零点;3.导数的应用.

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