题目内容
【题目】如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M、N分别为AB、PC的中点,且.
(1)求证:平面PAD;
(2)求证:面PCD;
(3)若,求二面角的正弦值.
【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3).
【解析】
(1)取CD中点,连结M、N,然后可证明平面平面PAD,进而可得平面PAD;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量可得证得,进而得到结论成立;(3)结合题意求出平面MPC和平面MCD的法向量,先求出两向量的夹角的余弦值,然后可得所求二面角的正弦值.
证明:(1)取CD中点,连结M、N,
∵N为PC的中点,
∴,
又 平面,平面,
∴平面.
同理平面.
又,
∴平面平面PAD.
∵平面MNO,
∴平面PAD.
(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如下图所示.
设,,
则0,,0,,b,,,b,,
∴,b,,b,,
∴,,
∴,.
又,
∴平面PCD.
(3)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
设,则,
则0,,0,,1,,1,,
∴0,,1,,
设平面MPC的法向量y,,
则,取,得.
由题意得平面MCD的法向量0,.
设二面角的平面角为,
则,
∴,
∴二面角的正弦值为.
【题目】某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2009年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x) 万件之间的关系如下表所示:
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 4.00 | 5.58 | 7.00 | 8.44 |
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=logx+a.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式;
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,2015年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2015年的年产量.