Question

【题目】设函数， ．

（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求， 的值；

（Ⅱ）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；

（Ⅲ）当时，求函数在区间上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）， ．（2）（3）见解析

【解析】【试题分析】（１）借助导数的几何意义建立方程组求解；（２）依据题设条件借助到数与函数的单调性之间的关系分析求解；（３）借助题设条件运用分类整合思想进行分析求解：

（Ⅰ）， ．

因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，且，即，且，解得， ．

（Ⅱ）记,当时， ，

，令，得， ，

当变化时， ， 的变化情况如表：

所以函数的单调增区间为， ；单调减区间为．

故在区间内单调递增，在区间内单调递减，

从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当解得，

所以的取值范围是．

（Ⅲ）记，当时， ，

由（Ⅱ）的单调增区间为， ；单调减区间为．

①当时，即时， 在区间上单调递增，

所以在区间上的最大值为

；

②当且，即时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为；

当且，即时， 且，所以在区间上的最大值为；

③当时， ， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为与中的较大者，

由知，当时， ，所以在区间上的最大值为；

④当时， 在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为．